Benvenuti alla prossima fase del nostro corso sui Principi di Controllo Automatico. In questo quaderno approfondiremo il Root Locus Design.
Cominciamo rivisitando alcuni dei concetti di cui abbiamo parlato in precedenza per poi passare ad esempi pratici di progettazione.
Un compensatore è un tipo di controller, come PI (Proporzionale-Integrale), PD (Proporzionale-Derivativo) o PID (Proporzionale-Integrale-Derivativo), progettato per migliorare le prestazioni di un sistema.
Le prestazioni nei sistemi di controllo sono generalmente classificate in due tipologie:
Le prestazioni transitorie sono cruciali perché determinano la rapidità e la precisione con cui il sistema raggiunge lo stato desiderato dopo un disturbo. Le prestazioni in stato stazionario, d’altro canto, sono importanti per la stabilità e l’accuratezza a lungo termine del sistema.
Consideriamo una tipica struttura del sistema di controllo:
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In questa configurazione il compensatore (\(D(s)\)) è posto in cascata con l’impianto. Questa disposizione può anche essere modificata con circuiti di feedback minori, che possono essere rappresentati in un formato strutturale simile a fini di progettazione.
È fondamentale comprendere che la scelta del compensatore influisce sia sul comportamento transitorio che su quello stazionario del sistema. Un compensatore ben scelto può migliorare significativamente la risposta del sistema ai cambiamenti e mantenere la stabilità nel tempo.
Definizione e funzione di trasferimento
Un compensatore di anticipo di fase viene utilizzato per migliorare le prestazioni transitorie spostando il luogo delle radici a sinistra, migliorando così la stabilità del sistema. La funzione di trasferimento di un compensatore di fase è data da:
\[ D(s) = K_c \frac{(s + z_c)}{(s + p_c)} \]
Dove: - $ K_c $ è il guadagno. - $ z_c $ è lo zero del compensatore. - $ p_c $ è il polo del compensatore.
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Figura: grafico che illustra il diagramma polo-zero di un compensatore di fase. Lo zero è in $ -z_c $ e il polo in $ -p_c $, con il polo più lontano dall’origine rispetto allo zero.
Lo zero nel compensatore di anticipo di fase (a $ s = -z_c $) introduce un’azione derivativa, spostando il diagramma del luogo delle radici verso la metà sinistra del piano, migliorando così la stabilità e le prestazioni transitorie.
Per l’attenuazione del rumore, in particolare del rumore ad alta frequenza, è incluso un polo aggiuntivo, rappresentato dal polo in $ s = -p_c $.
Il posizionamento del compensatore principale è fondamentale nei casi in cui è necessario migliorare le prestazioni transitorie.
Il controller PD è un caso speciale di compensatore di fase che non include il polo.
Domanda pop-up: Perché viene utilizzato un compensatore di fase per migliorare le prestazioni transitorie? Risposta: Perché sposta il luogo delle radici a sinistra, migliorando la stabilità del sistema e la risposta transitoria.
Applichiamo questi concetti ad un esempio pratico: il controllo dell’assetto di un satellite. Il sistema può essere modellato come $ $.
Modello di sistema:
\[ G(s) = \frac{1}{s^2} \]
Ingresso: Coppia $ T(t) $ Risultato: Angolo di attitudine $ (t) $ Tipo di sistema: Tipo-2 (implica buone prestazioni in stato stazionario: errore zero per gli ingressi di gradino e rampa ed errore finito per gli ingressi di accelerazione)
Dichiarazione del problema: Affrontare l’instabilità dovuta a un doppio integratore all’origine.
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Iniziamo a considerare la semplice situazione in cui
\[ D(s) = K \]
Ciò corrisponde alla situazione in cui \(D(s)=K\) è la costante di un attuatore che converte i segnali elettrici in una coppia \(T(t)\) per i propulsori.
Funzione di trasferimento ad anello aperto:
\[ G(s) = \frac{K}{s^2} \]
Comportamento a circuito chiuso:
Possiamo analizzarlo utilizzando il luogo delle radici al variare di \(K\).
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Ricordate, il grafico del luogo delle radici è una rappresentazione grafica di come i poli a circuito chiuso di un sistema di controllo variano con le modifiche di un parametro di sistema, in genere il guadagno.
Per il sistema $ $, il grafico del luogo delle radici indica una natura oscillatoria. Questo perché per tutti i valori di ‘s’ le radici giacciono sull’asse immaginario del piano s, che è caratteristico delle oscillazioni non smorzate.
Possiamo tracciare il luogo delle radici usando Python in questo modo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
numerator = [1]
denominator = [1, 0, 0]
G = ctl.TransferFunction(numerator, denominator)
# Plot the root locus
plt.figure(figsize=(10, 6))
ctl.root_locus(G, plot=True);
plt.title(f'Root locus of {G}');
Ecco uno script Python che simula il sistema a ciclo chiuso:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
# System parameters
K = 1 # You can modify this gain value as needed
# Transfer function of the system
numerator = [K]
denominator = [1, 0, 0] # s^2 term has a coefficient of 1, s term is 0, constant term is 0
system = ctl.tf(numerator, denominator)
# Closed loop transfer function with a unity feedback
# For a unity feedback system, the feedback transfer function is simply 1
closed_loop_system = ctl.feedback(system, 1)
# Time parameters for simulation
t = np.linspace(0, 100, 1000) # Simulation from 0 to 10 seconds, with 1000 points
# Step response
t, y = ctl.step_response(closed_loop_system, t)
# Plotting
plt.plot(t, y)
plt.title('Closed-Loop Step Response of the System K/s^2')
plt.xlabel('Time (seconds)')
plt.ylabel('Response')
plt.grid(True)
plt.show()
Nel nostro scenario attuale, la preoccupazione principale non è la precisione dello stato stazionario ma le prestazioni transitorie. Pertanto, la scelta preferita è un compensatore di fase.
Il compensatore di fase è rappresentato dalla funzione di trasferimento:
\[ D(s) = K_c \frac{(s + z_c)}{(s + p_c)} \]
dove $ K_c $, $ z_c $ e $ p_c $ sono i parametri che possiamo determinare per soddisfare i nostri requisiti.
Nota: i concetti alla base del design sono più importanti del design specifico. Possono essere adatti più modelli.
Ci sono tre parametri sotto il nostro controllo. Il modo in cui implementiamo questi parametri dipende dall’hardware.
Chiamiamo $ $ come sistema non compensato che in questo caso include il parametro di progettazione \(K\).
Consideriamo un sistema di controllo dell’assetto per un satellite: - Sistema non compensato: \[ \frac{K}{s^2} \] - Compensatore: \[ D(s) = \frac{s + z_c}{s + p_c} \]
Supponiamo che i requisiti di progettazione siano un rapporto di smorzamento $ = 0,707 $ e un tempo di assestamento $ t_s = 2$ secondi. Il nostro obiettivo è tradurre questi requisiti nelle posizioni dei poli a circuito chiuso desiderate.
Ricorda che i requisiti transitori potrebbero esserti forniti in termini di $_n $ (frequenza naturale), \(M_p\) (Overshoot Peak), ecc.
Ricordatevi inoltre che spesso possiamo passare da una specifica esigenza all’altra. Ad esempio possiamo calcolare:
\[ \zeta\omega_n = \frac{4}{t_s} = 2 \]
Da questi valori è possibile determinare la posizione dei poli del circuito chiuso. Di seguito i passaggi per farlo.
Per calcolare la posizione dei poli desiderati ad anello chiuso per un sistema di controllo con un rapporto di smorzamento $ $ e un tempo di assestamento $ t_s $ specificati, utilizziamo le formule standard relative alle caratteristiche di risposta del sistema del secondo ordine.
I poli desiderati a circuito chiuso sono generalmente coniugati complessi per sistemi sottosmorzati e la loro posizione nel piano s è determinata dal rapporto di smorzamento $ $ e dalla frequenza naturale $ _n $.
Dato: - Rapporto di smorzamento $= 0,707 $ - Tempo di assestamento $ t_s = 2 $ secondi
**Calcola la frequenza naturale ($ _n $)**: Il tempo di assestamento per un sistema del secondo ordine è approssimato da $ t_s $. Riorganizziamo questo per risolvere $ _n $:
\[ \omega_n = \frac{4}{\zeta t_s} \]
Sostituendo i valori dati:
\[ \omega_n = \frac{4}{0,7 \times 2} = \frac{4}{1,4} \approx 2,857 \, \text{rad/s} \]
Determinare le parti reale e immaginaria dei poli: La forma generale dei poli ad anello chiuso per un sistema del secondo ordine è:
\[ s = -\zeta \omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2} \]
La parte reale (sigma) è data da $ -_n $ e la parte immaginaria (omega) da $ _n $.
Calcolando questi:
Posizioni dei poli ad anello chiuso: Pertanto, i poli ad anello chiuso si trovano approssimativamente a:
\[ s = -2 \pm j2 \]
Questi calcoli forniscono le posizioni desiderate per i poli a circuito chiuso nel piano s per ottenere il rapporto di smorzamento e il tempo di assestamento specificati nella progettazione del sistema di controllo.
Possiamo tracciarlo sul piano s:
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Figura: grafico del luogo delle radici del sistema non compensato. È possibile identificare dove dovrebbero essere i poli dell’anello chiuso per la prestazione desiderata.
Dobbiamo modificare il comportamento del luogo delle radici per passare attraverso i poli desiderati a circuito chiuso in modo che i requisiti sulla precisione transitoria siano soddisfatti.
Inizia posizionando provvisoriamente lo zero ($ z_c \() e il polo (\) p_c $) del compensatore sul piano s. Questo posizionamento iniziale non deve essere esatto; è un punto di partenza per la messa a punto.
Per garantire che la risposta a circuito chiuso del sistema soddisfi i nostri requisiti, il luogo delle radici deve passare attraverso le posizioni dei poli a circuito chiuso desiderate. Ciò richiede il rispetto del criterio dell’angolo in questi punti.
Dobbiamo trovare gli angoli $ {z_c} $ e $ {p_c} $ tali che soddisfino l’equazione:
\[ \theta_{z_c} - \theta_{p_c} - 2\theta_1 = -180^\circ \]
Qui, $ {z_c} $ e $ {p_c} $ sono rispettivamente gli angoli dallo zero e dal polo del compensatore alla posizione desiderata del polo a circuito chiuso, e $ 2_1 $ è il contributo del polo della pianta poli.
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Contributo angolare netto: Il compensatore deve fornire un angolo netto $ {z_c} - {p_c} $, dove $ {z_c} $ e $ {p_c} $ sono gli angoli dallo zero e dal polo del compensatore ai poli desiderati ad anello chiuso.
Formula: Dati $ _1 = 135^$, calcoliamo:
\[ \theta_{z_c} - \theta_{p_c} = -180^\circ + 2 \cdot 135^\circ = -180^\circ + 270^\circ = 90^\circ \]
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Posizione preferita: Idealmente, posizionare lo zero a sinistra dei poli a circuito chiuso coniugati complessi desiderati. Ciò garantisce che il terzo polo si trovi a sinistra dei poli desiderati, soddisfacendo la condizione di dominanza. Questo perché il ramo del luogo delle radici terminerà in quello zero.
Eccezioni: a volte questo posizionamento ideale non è possibile. In questi casi, come nel caso del nostro contributo dell’angolo netto di 90°, potrebbe essere necessario posizionare lo zero a destra.
Per risolvere il guadagno $ K $ nel nostro esempio di sistema di controllo, dove lo zero del compensatore $ z_c $ è a -1 e il polo $ p_c $ è a -6, seguiamo i passaggi descritti in precedenza. Dobbiamo calcolare $ K $ in modo tale che la condizione di magnitudo sia soddisfatta ai poli desiderati del circuito chiuso $ -2 j2 $.
Dato:
La funzione di trasferimento ad anello aperto $ G(s) $ è:
\[ D(s)G(s) = \frac{K \cdot (s + z_c)}{s^2 \cdot (s + p_c)} \]
Sostituendo $ z_c = -1 $ e $ p_c = -6 $ nella funzione di trasferimento, otteniamo:
\[ D(s)G(s) = \frac{K \cdot (s + 1)}{s^2 \cdot (s + 6)} \]
Ora applichiamo la condizione di magnitudo a uno dei poli desiderati del circuito chiuso, diciamo $ s = -2 + j2 $:
\[ |G(-2 + j2)| = 1\]
\[ \frac{K \cdot \left|(-2 + j2) + 1\right|}{\left|(-2 + j2)^2\right| \cdot \left|(-2 + j2) + 6\right|} = 1 \]
Semplifichiamo questa equazione:
\[ \frac{K \cdot \left|-1 + j2\right|}{\left| (-2 + j2)^2\right| \cdot \left|4 + j2\right|} = 1 \]
Per prima cosa dobbiamo semplificare i numeri complessi nell’equazione:
Facciamo questi calcoli:
Quindi, calcola le magnitudini:
Infine, risolvi $ K $ utilizzando:
\[ \frac{K \cdot \text{Ampiezza del numeratore}}{\text{Ampiezza del denominatore}} = \frac{8(4.47)}{2.23} = 16\]
Nella progettazione di un compensatore, in particolare di un compensatore in anticipo di fase, un aspetto cruciale da considerare è il rapporto tra il polo e lo zero del compensatore. Questa relazione non è solo una questione di soddisfare le condizioni geometriche per i requisiti angolari, ma svolge anche un ruolo importante nell’attenuazione del rumore, soprattutto per i segnali ad alta frequenza.
Per calcolare la posizione del terzo polo in un sistema di controllo in cui è stato aggiunto un compensatore di fase ed è stato determinato il guadagno $ K $, possiamo seguire questi passaggi:
Funzione di trasferimento ad anello aperto: richiama la funzione di trasferimento ad anello aperto con il compensatore: \[ D(s)G(s) = \frac{K \cdot (s + z_c)}{s^2 \cdot (s + p_c)} \] dove $ z_c $ è lo zero e $ p_c $ è il polo del compensatore.
Valori noti sostitutivi: sostituisce i valori noti per $ K $, $ z_c $ e $ p_c $ nella funzione di trasferimento ad anello aperto.
Metodo del luogo delle radici: per trovare la posizione del terzo polo, è possibile utilizzare il metodo del luogo delle radici. Ciò implica tracciare il luogo delle radici della funzione di trasferimento ad anello aperto e identificare dove si trova il terzo polo in base al valore di $ K $.
Approccio analitico: In alternativa, per un approccio analitico, è possibile impostare l’equazione caratteristica del sistema a circuito chiuso, che è: \[ 1 + G(s)H(s) = 0 \] Risolvendo questa equazione otterrai i poli del sistema a circuito chiuso.
Risoluzione dell’equazione caratteristica: L’equazione caratteristica sarà un’equazione cubica in $ s $ (poiché il sistema originale è del secondo ordine e il compensatore aggiunge un ordine). Risolvendo questa equazione cubica otterrai tre soluzioni, corrispondenti ai tre poli del sistema a circuito chiuso.
Identificazione del terzo polo: due di questi poli saranno i poli desiderati a circuito chiuso (ad esempio, $ -2 j2 $ nel nostro esempio). La terza soluzione sarà il polo aggiuntivo introdotto dal compensatore.
Strumenti computazionali: risolvere analiticamente l’equazione cubica può essere complesso. Spesso è più pratico utilizzare strumenti computazionali come MATLAB o Python, che possono calcolare in modo efficiente le radici delle equazioni polinomiali.
Dominanza dei poli: una volta trovato il terzo polo, dovresti verificarne la dominanza nella risposta del sistema. Se è all’estrema sinistra nel piano s, il suo effetto sulla risposta transitoria del sistema potrebbe essere trascurabile. Se è più vicino all’asse immaginario, potrebbe influenzare in modo significativo il comportamento del sistema.
import numpy as np
# Coefficients of the cubic equation
coefficients = [1, 6, 16, 16]
# Finding the roots
roots = np.roots(coefficients)
# Display the roots
print("The poles of the system are:", roots)The poles of the system are: [-2.+2.j -2.-2.j -2.+0.j]import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
from ipywidgets import interact, FloatSlider
def calculate_settling_time(T, yout, tol=0.02):
# Settling time is the time at which the response remains within a certain tolerance
settled_value = yout[-1]
lower_bound = settled_value * (1 - tol)
upper_bound = settled_value * (1 + tol)
within_tol = np.where((yout >= lower_bound) & (yout <= upper_bound))[0]
if within_tol.size == 0:
return np.nan # Return NaN if the system never settles
return T[within_tol[0]]
def calculate_steady_state_error(system_type, G, K, time_span):
G_closed_loop = ctl.feedback(K * G)
if system_type == 'step':
# Steady-state error for step input (Type 0 system)
T, yout = ctl.step_response(G_closed_loop, T=np.linspace(0, time_span[-1], 500))
steady_state_val = yout[-1]
return 1 - steady_state_val
elif system_type == 'ramp':
# Steady-state error for ramp input (Type 1 system)
Kv = ctl.dcgain(G_closed_loop * ctl.TransferFunction([1, 0], [1]))
return 1 / Kv if Kv != 0 else np.inf
else:
return np.nan
# def plot_step_response(G, K, time_span):
# G_closed_loop = ctl.feedback(K * G)
# T, yout = ctl.step_response(G_closed_loop, T=np.linspace(0, time_span[-1], 500))
# plt.plot(T, yout)
# settling_time = calculate_settling_time(T, yout)
# steady_state_error = calculate_steady_state_error('step', G, K, time_span)
# plt.title(f'Step Response for Gain K={K}\nSettling Time: {settling_time:.2f}, Steady-State Error: {steady_state_error:.2f}')
# plt.xlabel('Time')
# plt.ylabel('Amplitude')
# plt.grid(True)
# def plot_ramp_response(G, K, time_span):
# G_closed_loop = ctl.feedback(K * G)
# T, yout = ctl.forced_response(G_closed_loop, T=time_span, U=time_span)
# plt.plot(T, yout)
# steady_state_error = calculate_steady_state_error('ramp', G, K, time_span)
# plt.title(f'Ramp Response for Gain K={K}\nSteady-State Error: {steady_state_error:.2f}')
# plt.xlabel('Time')
# plt.ylabel('Amplitude')
# plt.grid(True)
def plot_root_locus_with_gain(K, numerator, denominator):
# Define the transfer function G(s)
G = ctl.TransferFunction(numerator, denominator)
# Calculate the closed-loop transfer function for the given gain
G_closed_loop = ctl.feedback(K * G)
# Find the poles for the specific gain
poles = ctl.pole(G_closed_loop)
# Plot the root locus
plt.figure(figsize=(10, 6))
ctl.root_locus(G, plot=True)
# Plot the poles for the specific gain
plt.plot(np.real(poles), np.imag(poles), 'ro', markersize=10, label=f'Poles for K={K}')
# Enhance plot
plt.xlabel('Real Axis')
plt.ylabel('Imaginary Axis')
plt.title(f'Root Locus of G(s) with Poles for Gain K={K}')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
def plot_all(K):
# Define the transfer function D(s)G(s)
numerator = [1, 1 * zc] # 16s+16
denominator = [1, 6, 0, 0] # s^3 + 6s^2
G = ctl.TransferFunction(numerator, denominator)
# Time span for the responses
time_span = np.linspace(0, 10, 1000)
# Plot Root Locus
plot_root_locus_with_gain(K, numerator, denominator)
# # Plot Step Response
# plt.figure(figsize=(10, 4))
# plot_step_response(G, K, time_span)
# plt.show()
# # Plot Ramp Response
# plt.figure(figsize=(10, 4))
# plot_ramp_response(G, K, time_span)
# plt.show()
zc = 1 # Zero of the compensator
interact(plot_all,
K=FloatSlider(value=16, min=0, max=50, step=0.5, description='Gain K:'))<function __main__.plot_all(K)>import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
# Define system parameters
K = 1 # This is one to have K to vary in the plot. We need to click on the value of gain 16.
zc = 1 # Zero of the compensator
pc = 6 # Pole of the compensator
# Define the transfer function
numerator = [K, K * zc] # 16s+16
denominator = [1, 6, 0, 0] # s^3 + 6s^2
system = ctl.tf(numerator, denominator)
# Plot the root locus
ctl.rlocus(system)
plt.show()
# Use the plot to find the third pole at the specific gain K
Prendi in considerazione la progettazione di un compensatore di fase per un sistema in cui le prestazioni transitorie sono cruciali quanto la riduzione del rumore. La scelta delle posizioni polo e zero dovrebbe:
Esercizio interattivo: gli studenti possono impegnarsi in un esercizio utilizzando uno strumento software come MATLAB o Python per sperimentare diversi rapporti polo-zero. L’osservazione di come queste regolazioni influiscono sia sulla risposta transitoria che sull’attenuazione del rumore fornirà spunti pratici sui compromessi coinvolti nella progettazione del compensatore.
Dato che abbiamo un sistema di tipo 2 questo non è un problema, certamente non per gradini e rampe. Se si deve calcolare l’errore di accelerazione, è possibile farlo da:
\[ D(s)G(s) = \frac{K \cdot (s + z_c)}{s^2 \cdot (s + p_c)} = \frac{16 \cdot (s + 1)}{s ^2 \cdot (s + 6)} \]
e quindi la costante di accelerazione è:
\[ K_a = \frac{16}{6} \]
e il corrispondente errore di accelerazione è:
\[ e_{ss} = \frac{6}{16} radianti \]
Questo è un valore finito e molto probabilmente accettabile. Seguire l’accelerazione è difficile e in genere ci accontentiamo degli input di gradino e rampa.
In questa parte approfondiremo il concetto di compensazione del ritardo di fase. A differenza dei compensatori di anticipo di fase progettati per migliorare le prestazioni transitorie, i compensatori di ritardo di fase vengono utilizzati principalmente per migliorare la precisione in condizioni stazionarie.
La funzione di trasferimento per un compensatore di ritardo di fase è generalmente data da:
\[ D(s) = \frac{s + z_c}{s + p_c} \]
Dove: - $ z_c $ è lo zero del compensatore. - $ p_c $ è il polo del compensatore.
In un compensatore di sfasamento, il polo è solitamente posizionato vicino all’origine ma non necessariamente in corrispondenza di essa. Posizionando un polo all’origine lo si rende un controller Proporzionale-Integrale (PI).
Lo zero ($ z_c \() è posizionato vicino al polo (\) p_c $), essenziale per mantenere la stabilità del sistema. Altrimenti la presenza del polo all’origine potrebbe destabilizzare il sistema.
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Consideriamo un sistema di tipo 1 rappresentato da:
\[ G(s) = \frac{K}{s(s + 2)} \]
Questo modello potrebbe rappresentare un servosistema motore per il tracciamento della posizione.
Nell’esempio del nostro sistema di controllo, iniziamo valutando le prestazioni del sistema non compensato. Un parametro chiave in questa valutazione è la costante dell’errore di velocità, indicata come $ K_v $. Per il nostro sistema, $ K_v $ viene calcolato come segue:
\[ K_v = \frac{K}{2} \]
Per un rapporto di smorzamento ($ $) di 0,45, i poli del circuito chiuso si trovano a $ -1 2j $.
Questo calcolo si basa sulla dinamica del sistema standard del secondo ordine in cui le posizioni dei poli sono determinate dal rapporto di smorzamento e dalla frequenza naturale.
La posizione di questi poli nel piano s influenza direttamente il comportamento transitorio del sistema, compresi aspetti come il superamento e il tempo di assestamento.
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Figura: grafico del luogo delle radici che mostra come la variazione di $ K $ influisce sulle posizioni dei poli.
Quando $ K = 5 $, la costante dell’errore di velocità è:
\[ K_v = \frac{K}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \]
Tuttavia, questo valore di $ K_v $ è inferiore ai 20 richiesti per prestazioni adeguate in condizioni stazionarie.
Per ottenere il risultato desiderato, posizioneremo sia lo zero che il polo del compensatore vicino all’origine. L’obiettivo qui è garantire che il loro contributo combinato all’angolo di fase del sistema sia minimo, idealmente entro un intervallo compreso tra 1 e 5 gradi. In questo modo, possiamo effettivamente garantire che questi elementi abbiano un impatto trascurabile sul grafico del luogo delle radici originale del sistema. Questo posizionamento strategico è fondamentale per mantenere le caratteristiche originali del sistema implementando al tempo stesso il compensatore di ritardo di fase.
\[ D(s) G(s) = \frac{K (s+z_c)}{s(s + 2)(s+p_c)} \]
E
\[ K_v = \frac{K z_c}{2p_c} = 20 \]
ciò significa che possiamo utilizzare il rapporto \(\frac{z_c}{p_c}\) per migliorare la nostra costante di velocità.
Più specificamente, per \(K=5\) (notare che per lo stesso motivo per cui lo zero e il polo non disturbano il transitorio, non cambiano molto il valore del guadagno del luogo della radice, il boost di cui abbiamo bisogno è \(\frac {z_c}{p_c}=8\).
Questo ci aiuta a definire la relazione tra lo zero e il polo del compensatore.
Il luogo delle radici è (questa non è una scala troppo grande per evidenziare le relazioni):
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È possibile verificare che il terzo polo deve essere reale, e quindi molto vicino allo zero. Ciò significa che la condizione di dominanza è soddisfatta (anche se è vicina all’asse immaginario). Se il terzo polo non è abbastanza vicino, possiamo apportare una modifica alle posizioni zero/polo per spostarlo più vicino allo zero. Questo viene in genere fatto utilizzando un software.
Infine attraverso la simulazione possiamo verificare la piena prestazione (transitoria e stazionaria) del sistema.
Concludendo la nostra discussione sui compensatori del sistema di controllo, consideriamo come scegliere tra diversi tipi di compensatori in base alle prestazioni del sistema non compensato. Qui per “non compensato” intendiamo un sistema in cui sono consentite solo regolazioni del guadagno.
Conclusione: la progettazione e la selezione dei compensatori dipendono dai requisiti prestazionali sia transitori che stazionari del sistema. Il processo decisionale prevede un’attenta valutazione delle prestazioni attuali del sistema e degli obiettivi che si intendono raggiungere con la remunerazione.