Adattamento dei dati dei test di fase ai modelli empirici

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import pandas as pd

df = pd.read_csv('data/step-test-data.csv')
df = df.set_index('Time')
df.plot(grid=True)

Parametro

Adattamento dei dati di modifica del passo a un modello del primo ordine

Per un sistema lineare del primo ordine inizialmente allo stato stazionario, la risposta a una variazione dell’ingresso a gradino a $t = 0$ è data da

$y (t) = y (0) + K (1 - e^{- t / τ}) Δ U$

dove $Δ U$ è l’entità del cambiamento graduale. Conversione nella notazione utilizzata per il laboratorio di controllo della temperatura dove $y (t) = T_{1} (t)$ e $Δ U = Δ Q_{1}$

$T_{1} (t) = T_{1} (0) + K_{1} (1 - e^{- t / τ_{1}}) Δ Q_{1}$

le celle seguenti forniscono le stime iniziali per il guadagno in stato stazionario $K_{1}$ e la costante di tempo $τ_{1}$ .

Lettura dei dati salvati

df[['Q1','T1','T2']].plot(grid=True)

Stima del guadagno e della costante di tempo

Nel limite $t \to \infty$ diventa il modello del primo ordine

$T_{1} (\infty) = T_{1} (0) + K_{1} Δ Q_{1}$

che fornisce un metodo per stimare $K_{1}$

$K_{1} = \frac{T_{1} (\infty) - T_{1} (0)}{Δ Q_{1}}$

Questi calcoli vengono eseguiti di seguito dove utilizziamo la prima e l’ultima misurazione di $T_{1}$ come stime di $T_{1} (0)$ e $T_{1} (\infty)$ , rispettivamente.

T1 = df['T1']
Q1 = df['Q1']

DeltaT1 = max(T1) - min(T1)
DeltaQ1 = Q1.mean()

K1 = DeltaT1/DeltaQ1
print("K1 is approximately", K1)

K1 is approximately 0.6968700000000001

# find when the increase in T1 gets larger than 63.2% of the final increase
i = (T1 - T1.min()) > 0.632*(T1.max()-T1.min())
tau1 = T1.index[i].min()
print("tau1 is approximately", tau1, "seconds")

tau1 is approximately 163.0 seconds

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

exp = np.exp
t = df.index

T1_est = T1.min() + K1*(1 - exp(-t/tau1))*DeltaQ1

plt.figure(figsize=(10,5))
ax = plt.subplot(2,1,1)
df['T1'].plot(ax = ax, grid=True)
plt.plot(t,T1_est)
plt.title('Step Test Data Compared to Model')

plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(t,T1_est-T1)
plt.grid()
plt.title('Residual Error')

Text(0.5, 1.0, 'Residual Error')

Un modello del primo ordine cattura determinate caratteristiche e fornisce un risultato ragionevolmente buono quando il sistema si avvicina a un nuovo stato stazionario. Il problema, tuttavia, è che per il controllo abbiamo bisogno di un buon modello durante il transitorio iniziale. È qui che il modello del primo ordine crolla e prevede una risposta qualitativamente diversa da quella che osserviamo.

Primo Ordine più Ritardo (o Tempo Morto)

$T_{1} (t) = T_{1} (0) + K (1 - e^{\frac{t - θ}{τ}}) Q_{s t e p}$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
from ipywidgets import interact

df = pd.read_csv('data/step-test-data.csv')
df = df.set_index('Time')

T1 = df['T1']
Q1 = df['Q1']
t = df.index

DeltaT1 = max(T1) - min(T1)
DeltaQ1 = Q1.mean()

K1 = DeltaT1/DeltaQ1
i = (T1 - T1.min()) > 0.632*(T1.max()-T1.min())
tau1 = T1.index[i].min()

def fopdt(K=K1, tau=tau1, theta=0, T10=T1.min()):
    def Q1(t):
        return 0 if t < 0 else DeltaQ1
    Q1vec = np.vectorize(Q1)
    T1_fopdt = T10 + K*(1-np.exp(-(t-theta)/tau))*Q1vec(t-theta)
    plt.figure(figsize=(10,5))
    plt.subplot(2,1,1)
    plt.plot(t,T1_fopdt)
    plt.plot(t,df['T1'])
    plt.subplot(2,1,2)
    plt.plot(t,T1_fopdt - T1)
    plt.show()
    
interact(fopdt,K=(0,1,.001),tau=(50,200,.5),theta=(0,50,.5),T10=(15,25,.1))

<function __main__.fopdt(K=0.6968700000000001, tau=163.0, theta=0, T10=20.9)>

Secondo ordine

SEMD Equaz. 5-48

$T_{1} (t) = T_{1} (0) + K (1 - \frac{τ_{1} e^{- t / τ_{1}} - τ_{2} e^{- t / τ_{2}}}{τ_{1} - τ_{2}}) Q_{1} (t)$

from scipy.optimize import least_squares
import numpy as np
Qmax = 50

def f(x):
    K,tau1,tau2,T10 = x
    t = df.index
    exp = np.exp
    Tpred = T10 + K*(1 - (tau1*exp(-t/tau1) - tau2*exp(-t/tau2))/(tau1-tau2))*Qmax
    resid = df['T1'] - Tpred
    return resid

ic = [0.86,40,130,20]

r = least_squares(f,ic,bounds=(0,np.inf))
r.x

array([  0.69537389,  19.68872647, 141.40950924,  20.91093839])

E la funzione di trasferimento risultante è:

$G_{1} (s) = \frac{0, 70}{(20 s + 1) (141 s + 1)}$